(le 1er article est ici)
Le labyrinthe du continu
Dans cette deuxième partie, Chaitin échafaude un réquisitoire contre l'existence des nombre réels.
Les nombres imaginaires
Les nombres imaginaires ne sont ni plus ni moins imaginaires que les nombres réels.(note : plutôt que de se confronter à la définition contre-intuitive i=sqrt(-1), le meilleur moyen de considérer les nombres complexes est de les considérer comme une paire de coordonnées réelles dans l'espace à 2 dimensions.)
Historiquement, on se refusait à placer les nombres complexes sur le même plan que les réels. Leibniz fait remarquer que les calculs qui visitent temporairement ce monde imaginaire ont pour point de départ et pour point d'arrivée celui des nombres réels (ex: en électronique, pour calculer une fonction de transfert). Les complexes ont fini par s'imposer en raison de leur utilité
- en trigonométrie (résultat d'Euler : eix= cos x+ i*sin x),
- en algèbre (théorème d'Alembert Gauss : une équation de degré n admet exactement n racines)
- surtout en mécanique quantique, pour exprimer l'équation de Schrödinger : les imaginaires y jouent un rôle essentiel, dansla mesure où les probabilités quantiques (amplitudes de probabilité) doivent avoir une direction et une magnitude.
Les nombres transcendants
Un nombre réel x est algébrique s'il est la solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. Dans le cas contraire x est dit transcendant.
Turing démontre que tous les réels algébriques sont calculables, mais que la plupart des réels sont incalculables, et de ce fait transcendants.
Suivant un point de vue probabiliste : les réels sont transcendants, incalculables et aléatoires avec probabilité=1. (Intuitivement : si on pique un point sur une droite des nombres réels, on obtient toujours un nombre transcendant.)
Dernier constat : l'ensemble de tous les réels susceptibles d'être définis dans un langage formel possède une probabilité=0.
=> les réels sont inaccessibles avec une probabilité=1.
Points importants :
Chaitin insiste pour rappeler les motivations d'ordre philosophique
, théologique et mystique qui ont donné corps à la théorie des nombres transcendants de Leibniz, et à la théorie des ensembles et des nombres infinis de Cantor.
